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向量相乘(学习向量有什么重要意义?)

向量相乘(学习向量有什么重要意义?)

向量相乘(学习向量有什么重要意义?) 1

自从新课程改革开展以来,无论是教师的“教”还是学生的“学”都发生很大变化,这种变化一方面是受教学新模式的影响,另一方面是受教材内容“改变”所产生的影响。如高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入,这两块知识内容引入的目的主要是为研究函数、空间图形,提供新的手段。

导数是很多人都非常熟悉的知识内容,现已成为高考数学重要热门考点,而对于向量方面的认知,很多人只停留在“工具性”层面上,没有充分认识到向量思想的重要性。

向量相关知识内容的引入,对我们的高中数学教育起到一定程度的影响现实意义。如空间向量在解决立体几何比起传统的知识和方法更具优势,在数学学习中运用空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题,我们发现这种方法比起传统解决方法更好,可操作性更强,因为只要能建系,有坐标就能解决。

虽然我们认可向量在高中数学教育中的地位,认识到向量相关知识内容在数学教育中有着非常重要的地位和教育价值,但很多人在实际应用中,对向量相关的知识结论理解不深,部分学生仅仅依靠死记硬背来消化向量知识内容,这与新课改的精神完全背道而驰。

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向量的工具性特点在数学的许多分支中都有体现,尤其在高等数学与解析几何中,向量的思想渗透非常广泛。在高中数学学习中,向量作为必修课程的其中一部分内容,可以能很好培养学生的数学能力和数学素养,帮助学生提高的综合数学能力。

何为向量?向量从何而来?

我们知道在物理学当中,有大小而没有方向的量称之为标量,而把既有方向又有大小的物理量就称为矢量。矢量广泛地应用于高中物理学习中,如力学中的力、速度、加速度、电场强度等等内容学习之中。其实物理学中的矢量就是数学中的向量,只不过同一个量在不同学科当中两种不同叫法而已。

在物理学和工程学中,几何向量通常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,如向量势对应于物理中的势能。

在大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。

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英国科学家牛顿是最先使用有向线段来表示向量,而“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。

我们都知道,在数学中我们把具有大小和方向的量称之为向量。同时向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量。

向量可以形象化地表示为带箭头的线段。其中箭头代表向量的方向,线段长度代表向量的大小。

与向量对应的只有大小,没有方向的量叫做数量,在物理学中我们称之为标量。

向量,最初被应用于物理学,如很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。这也体现数学和物理两门重要学科之间的“亲密关系”,更体现数学作为基础学科的重要性。

如何来表示向量?

一般情况下用印刷体记作粗体的字母,如a、b、u、v等等,同时书写的时候在字母顶上加一小箭头“→”。

如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB,并且要在字母顶上加→。

在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,如在Oxy平面中(2,3)是一向量。

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向量相关的定义有滑动向量、固定向量、位置向量、方向向量、相反向量、平行向量、共面向量、法向量等等。一般情况下向量定义为向量空间的元素,我们特别要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。如几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。

因此,在数学学习过程中,一定要加强基础知识的学习和进一步理解,这样你就学会根据语境来区分文中所说的”向量”是哪一种概念。

只要我们掌握好相关知识内容,就可以根据一个向量空间的基来设置坐标系,透过选取恰当的定义,在向量空间上介定范数和内积,这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

看到向量的表示方式,我们很容易想到复数这一数学知识。其实向量这一重要知识内容进入数学领域,并取得重要发展,这要得益于复数相关知识内容的发展。

复数前后经历几百年的时间才建立完整的知识系统,但在数学史上,空间的向量结构被数学家们所认识,经历了相当长一段时间。直到18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。

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人们把坐标平面上的点用向量表示出来,并且把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。

在复数的发展过程中,数学家们发现复数的利用有时候会受到限制,如有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。

在19世纪中期,英国数学家哈密尔顿发明了四元数,包括数量部分和向量部分,以代表空间的向量。从此,哈密尔顿为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。

英国数学家、物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析。

在19世纪80年代,英国的居伯斯和海维塞德于各自独立完成了三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂。

他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。

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因此,当数学界逐步接受复数相关知识内容,并且用于数学进一步研究,这也直接促进数学家们利用复数来表示和研究平面中的向量,把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

在高中数学教育中引入向量相关知识内容,让学生对向量进行系统深入的学习和研究。这样做的目的不仅仅只是为了学习向量知识内容,它可以帮助我们的学生更好去理解物理课上矢量相关知识。同时,学生通过物理学里面矢量内容的学习,也能更好帮助他们对向量有进一步深入的了解。如在力学中,对力、速度等的分解和合成,使用的就是向量的加减理论。

因此,我们一定要认真对待向量的学习,为今后的学习打下一个良好的基础。在平时的数学学习过程中,我们首先要熟练掌握好向量方法的基础知识内容,学会掌握和运用向量的思想方法,学会将各部分的数学知识、数学思想方法进行合理重组和整合,并借助于向量,运用联系的观点、运动观点、审美的观点、进行纵横联系和广泛的联想。

我们经常说数学来源于生活,同时又要能服务于生活,将生活中的问题进行数学化,转化成具体数学问题来解决,如方程、向量等等。向量相关知识的实践运用,不仅能很好体现其工具性,更充分体现向量在提高学生的数学能力方面的教学价值。

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