人无横财不富
马无夜草不肥

什么是有理数和无理数(有理数和无理数统称为什么有什么概念)

如果一个数是两个整数的比值(例如,1 / 10、-5 / 23、1543 / 10等等),那么它就是有理数。否则,它就是非理性的。

当你听到“理性”和“非理性”这两个词时,你可能会想到冷静、善于分析的电视剧《星际迷航》里的斯波克先生(Mr. Spock)和电视剧《识骨寻踪》里头脑冷静、情绪多变的斯波克博士(Dr. Spock)之间的区别。除非你是数学家,否则你可能不会想到整数与平方根的比值,这种东西会让我们当中的非数学家感到困惑,就像我们听到女王用克林贡语演唱的《波西米亚狂想曲》一样。

但在数学领域,词汇有时有特定的含义,与日常用法非常不同,有理数和无理数之间的区别,与推理、逻辑以及原始的情感冲动没有任何关系。

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记住“比率”这个词

埃里克·D·柯拉齐克(Eric D. Kolaczyk)解释道:“在记住有理数和无理数之间的区别时,想想一个词:比率。”他是波士顿大学数学和统计系的教授,也是该大学Rafik B. Hariri计算和计算科学与工程研究所的主任。

柯拉齐克说:“如果你能把一个数写成两个整数的比率(例如,1 / 10、-5 / 23、1543 / 10等等),那么我们就把它归为有理数。否则,我们就说这是无理数。”

你可以将一个整数或一个分数(整数的一部分)表示为一个比率,用一个称为分子的整数加上另一个称为分母的整数。把分母除以分子。这可以给你一个数字,比如1/4或500/10(也就是50)。

与有理数相比,无理数是相当复杂的。正如数学世界网站(Wolfram MathWorld)解释的那样,它们不能用分数来表示,当你试图把它们写成一个有小数点的数字时,这些数字就会一直持续下去,没有任何停止或重复的模式。

那么,什么样的数字会表现得如此疯狂呢?基本上,那些描述复杂事物的。也许最著名的无理数是π,希腊字母p,表示圆周长与圆直径之比。正如数学家斯蒂文·波卡特(Steven Bogart)在1999年《科学美国人》的一篇文章中解释的那样,无论圆有多大,比值总是等于圆周率。自从大约4000年前巴比伦的数学家们开始尝试计算圆周率以来,一代又一代的数学家们一直孜孜不辍,创造出了越来越长的不重复模式的小数串。2019年,谷歌研究人员埃玛·哈库拉·艾沃(Emma Hakura Iwao)成功地将圆周率扩展到31415926535897位或者31.4万亿个小数位,这比之前最高纪录高出9万亿位数。

有时,一个平方根,也就是一个数的一个因数,当它与自己相乘时,得到的是一个数,它是无理数,除非它是一个完全平方的整数,比如416的平方根。其中一个最明显的例子是√2,结果是1.414加上一个无限的非循环数字串。这个值对应于正方形对角线的长度,这是古希腊人在勾股定理中最先描述的。

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为什么我们要用“理性”和“非理性”这两个词?

为什么我们称它们为理性和非理性?这似乎有点模糊。柯拉齐克说:“我们确实通常用‘理性’来表示基于理性或类似的东西。”根据《牛津英语词典》,这个词在数学中的使用似乎早在13世纪的英国文献中就出现了。如果你把‘理性’和‘比例’都追溯到它们的拉丁词根,你会发现广义上来说,这两个词根都与‘推理’有关。”

更清楚的是,理数和无理数在文明的进步中都扮演了重要的角色。马克·泽加雷利(Mark Zegarelli)是一名数学老师,写了10本《傻瓜们》系列丛书,他解释说:“虽然语言可能可以追溯到人类的起源,但数字的出现要晚得多。采猎者可能不需要太多的数字精度,只需要粗略估计和比较数量的能力。”

泽加雷利说:“他们需要像‘我们没有苹果了’这样的概念,他们不需要知道,‘我们正好有152个苹果。’”

但是,当人类开始开辟土地来创建农场、建造城市、制造和交易商品,远离他们的家园时,他们需要一个更复杂的数学。

柯拉齐克说:“假设你建了一所屋顶,其高度与从底部到最高点的距离相等。屋顶表面从顶部到外缘的延伸有多长?上升(横移)总是√2的因数。这也是一个无理数。”

洛斯阿拉莫斯国家实验室信息系统和建模组的科学家和数学家嘉莉·马诺尔(Carrie Manore)说:“在技术先进的21世纪,无理数继续发挥着关键作用。”

马诺尔表示:“π显然是第一个不合理的数字,我们需要它来确定圆的面积和周长。它对计算角度至关重要,而角度对导航、建筑、测量、工程等都至关重要。无线电频率通信依赖于包含圆周率的正弦和余弦此外,无理数在复杂的数学中扮演着关键角色,使高频股票交易、建模、预测和大多数统计分析成为可能,所有这些活动使我们的社会保持活跃。”

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这样的例子不胜枚举。马诺尔谈到:“事实上,在现代社会,我们几乎可以反过来问,无理数在哪里没有被使用?”

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